Mittelwerte

einfaches arithmetisches Mittel

Das einfache arithmetische Mittel wird berechnet indem wir die Einzelwerte zusammenzählen und durch die Anzahl der Werte teilen, z. B. der Mittelwert von 5 und 7 ist 6 (5+7):2=6

Wenn zwei Angebote zu jeweils 5 € vorliegen und eines zu 7 € ist die Berechnung genau wie oben, es kommt also auch 6 heraus.
Aufgaben:

1. Ermitteln Sie die durchschnittlichen Materialkosten, die durchschnittlichen Fertigungskosten und den durchschnittlichen Umsatz im Betrachtungszeitraum:
 
1995 1996 1997 1998 1999 2000 arith. Mittel
Werte  in Mio € Wert Wert Wert Wert Wert Wert
Materialkosten 125 132 139 138 143 150
Fertigungskosten 203 208 220 223 235 249
Umsatz 398 407 417 409 431 452

2. Ermitteln Sie den durchschnittlichen Taschengeldbetrag der folgenden Klasse für die Monate Januar und Februar. Erläuterung: Mit Beginn des zweiten Schulhalbjahres ist in diese Klasse der Sohn von Graf Koks gekommen.
 
Taschengeldbeträge
Januar
Februar
30,-- €
1
1
40,-- €
2
2
50,-- €
12
12
80,-- €
2
2
100,-- €
1
1
10.000,-- €
0
1

Beurteilen Sie den Aussagewert dieser Ergebnisse!


gewogenes arithmetisches Mittel

Meist wird mit dem gewogenen arithmetischen Mittel gearbeitet.
Wenn zwei Angebote zu jeweils 5,-- € vorliegen und eines zu 7,-- €, dann ist der Mittelwert 5,67 €.
Rechenweg: alle einzelnen Werte addieren und dann durch die Anzahl der Werte teilen, also (2x5+7):3=5,67

Aufgaben:

1. Berechnen Sie die beim einfachen arithmetischen Mittel gestellte Aufgabe zum Taschengeld neu, diesmal aber mit dem gewogenen arithmetischen Mittel.
2. Berechnen Sie die Durchschnittsnote für die beiden Klassenarbeiten:
 
1
2
3
4
5
6
Durchschnitt
Wirtschaft
1
4
5
6
4
1
  
Rechnungsw.
2
3
4
5
7
0

Beurteilen Sie den Aussagewert der Ergebnisse beider Aufgaben!

Modus

Als Mittelwert wird hierbei der häufigste Wert betrachtet.

Beispiel: Acht Akkordarbeiter erbrachten die folgenden Stückleistungen: 10, 11, 12, 13, 12, 9, 13, 12, Der Modus ist die Stücköeistung 12, sie wird von drei Arbeitern erreicht.

Aufgaben:

1. Berechnen Sie die oben gestellte Aufgabe mit den Durchschnittsnoten neu, allerdings als Modus.
2. Berechnen Sie die oben gestellte Aufgabe mit dem Taschengeld neu, allerdings als Modus.
3. Beurteilen Sie den Aussagewert der Ergebnisse beider Aufgaben!

Median

Dieser Mittelwert ist der Zentralwert, er liegt in der Mitte einer nach der Größe geordneten Reihe. Im oben genannten Beispiel mit den Akkoradarbeitern wurden die Werte 9, 10, 11, 12 und 13 erreicht. In der Mitte liegt der Wert 11.

Aufgaben:

1. Berechnen Sie die oben gestellte Aufgabe mit den Durchschnittsnoten neu, allerdings als Median.
2. Berechnen Sie die oben gestellte Aufgabe mit dem Taschengeld neu, allerdings als Median.
3. Beurteilen Sie den Aussagewert der Ergebnisse beider Aufgaben!


Fazit

Wir können feststellen, dass alle vier Mittelwerte in manchen Beispielen unpassend sind, in anderen hingegen ganz nützlich. Der Statistiker muss daher abwägen, welchen Mittelwert er in welcher Situation verwendet.

Es gibt auch noch die Methode, die beiden Extremwerte (den höchsten und den niedrigsten) zu streichen, weil sie das Ergebnis verfälschen könnten.

Aufgabe:

Berechnen Sie den Mittelwert für die oben gestellte Taschengeldaufgabe erneut nach allen vier Methoden, nachdem Sie für beide Monate jeweils die beiden Extremwerte gestrichen haben. Beurteilen Sie die Ergebnisse hinsichtlich ihrer Aussagekraft.


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